Axel Thue - 1897


Thue benutzt in seinem Beweis den Hauptsatz der Zahlentheorie, also die Eindeutigkeit der Zerlegung der natürlichen Zahlen in ihre Primfaktoren. Dieser Beweis gibt sogar als quantitatives Resultat eine untere Schranke für die Anzahl der Primzahlen an, wenn es hier auch mittlerweile bessere Ergebnisse gibt.

Seien n und k natürliche Zahlen (ohne die Null !), so daß folgendes gilt:

.

Weiterhin seien nun

alle Primzahlen, die

erfüllen. Weiterhin sei
.

Nach dem Hauptsatz der Zahlentheorie läßt sich jede natürliche Zahl m mit


folgendermaßen eindeutig als Produkt darstellen:
.

Dabei ist
.

Werden in dieser Darstellung alle Möglichkeiten gezählt, dann folgt:

,

und dies ist unmöglich, deshalb folgt:
.

Wird nun

gewählt, dann folgt aus
,

daß

ist. Es gibt also mindestens k+1 Primzahlen p mit
.

Wird k unendlich groß gewählt, dann folgt sofort, daß es unendlich viele Primzahlen gibt.

Paulo Ribenboim, The Book of Prime Number Records, Springer-Verlag 1989, 2. Auflage

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letzte Änderung: 15.06.2000
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