Perott - 1881


Dieser Beweis von Perott ist einfach genial, wenn er auch etwas aufwendiger zu verstehen ist. Hier ist es erforderlich zu wissen, daß die Reihe


konvergiert und die Summe kleiner als 2 ist. Das folgt aufgrund folgender Beziehung:

.

Sei nun
,

und angenommen es würden nur r Primzahlen p1 < p2 < ... < pr existieren. Sei N dann eine beliebige natürliche Zahl unter der Bedingung p1 * p2 * ... * pr < N. Die Anzahl natürlicher Zahlen unter den Bedingungen, daß diese Zahlen kleiner/gleich N sind und nicht durch ein Quadrat teilbar sind, ist dann 2r. Der Wert 2r ist ja gerade die Zahl der Möglichkeiten der Mengen verschiedener Primzahlen, wenn es von diesen nur r gäbe. Aber nach dem Hauptsatz der Zahlentheorie läßt sich jede natürliche Zahl eindeutig in ihre Primfaktoren zerlegen. Die Anzahl der natürlichen Zahlen, welche kleiner/gleich N sind und sich durch pi2 teilen lassen, ist dann höchstens N / pi2, für den Fall der Teilbarkeit mit irgendeiner der r Primzahlen folgt als obere Grenze für die Anzahl dann:

.

Daraus folgt:

.

Wird N so gewählt, daß N * a größer/gleich 2r ist, folgt der Widerspruch, so daß die Annahme einer endlichen Primzahlmenge nicht mehr zu halten ist.

Paulo Ribenboim, The Book of Prime Number Records, Springer-Verlag 1989, 2. Auflage

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letzte Änderung: 05.02.2001
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