Legendre, Euler - 1794, 1735


Zu dem folgenden Beweis sind noch ein paar Bemerkungen zu machen. Der Beweis selbst wurde der unten angegebenen Quelle entnommen. In diesem ist keine Aussage getroffen, von wem dieser Beweis stammt. Auf Anfrage per eMail teilte mir der Autor, Peter Bundschuh, (innerhalb eines Tages!) mit, daß er den Beweis für "Folklore" hält, da jedem, der die Riemann`sche Zetafunktion und die Irrationalität von Pi2 kennt, der Satz des Euklid offensichtlich ist. Die Jahresangabe 1794 ist das Jahr, in dem Adrien-Marie Legendre sein Werk Eléments de géométrie veröffentlicht hat, in welchem erstmals die Irrationalität von Pi2 bewiesen wurde.

Doch nun zum Beweis, betrachtet man die Riemann`sche Zetafunktion für das Argument 2, dann ergeben sich folgende zwei Formeln:

.

Nun wurde bereits 1735 von Leonhard Euler bewiesen, daß die Reihe in I. gleich 1/6 * Pi2 ist, also ergibt I. einen irrationalen Wert. Betrachtet man II. unter der Annahme einer endlichen Anzahl von Primzahlen, so ergibt sich für das Produkt ein rationaler Wert. Dieser Widerspruch beweist erneut den Euklid`schen Satz.

Dieser Beweis ist zwar interessant hinsichtlich der benutzten Ergebnisse, aber für den Widerspruch ein starkes Hilfsmittel wie die Irrationalität von Pi2 zu benutzen, ist unangemessen für einen solchen einfachen Sachverhalt wie die Anzahl von Primzahlen. Der Beweis läßt sich auch für das Argument 3 führen, da die Riemann`sche Zetafunktion für 3 wieder einen irrationalen Wert liefert. Dies wurde 1979 von R. Apery bewiesen.

Peter Bundschuh, Einführung in die Zahlentheorie, Springer-Verlag 1998, 4. Auflage

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letzte Änderung: 22.06.2000
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