A. Hurwitz - 1891


Dieser Beweis ist in der Quelle als Variante des Beweises von Hurwitz angegeben. Der Name und die Jahreszahl mögen deshalb so nicht ganz stimmen, aber leider habe ich bisher das betreffende, originale Buch nicht gefunden (A. Hurwitz, Übungen zur Zahlentheorie, 1891).

Betrachtet man die unendliche Zahlenfolge wn mit der Definition
w1 = 2
w2 = w1 + 1 = 3
w3 = w1w2 + 1 = 7
w4 = w1w2w3 + 1 = 43
w5 = w1w2w3w4 + 1 = 1.807
w6 = w1w2w3w4w5 + 1 = 3.263.443
w7 = w1w2w3w4w5w6 + 1 = 10.650.056.950.807
w8 = w1w2w3w4w5w6w7 + 1 = 113.423.713.055.421.844.361.000.443
w9 = w1w2w3w4w5w6w7w8 + 1 = 12.864.938.683.278.671.740.537.145.998.360.961.546.653.259.485.195.807
...,
so folgt, daß diese Zahlen w1, w2, w3, ... paarweise relativ prim sind, das heißt, je zwei beliebige Zahlen wi und wj haben keinen gemeinsamen Primfaktor. Da es unendlich viele Zahlen wn gibt, existieren auch unendlich viele Primzahlen.

Das hier benutzte Verfahren, um die wn rekursiv mit Multiplikation der Vorgänger und Addition der 1 zu definieren, erinnert an den Beweis von Euclid, und der Gedanke einer unendliche Zahlenfolge von paarweisen, relativ primen Zahlen als Beweis für die Unendlichkeit der Primzahlmenge ist auch durch Goldbach bekannt. Insofern eröffnet dieser Beweis, wenn man die anderen bereits kennt, keine neuen Einblicke.

Paulo Ribenboim, The New Book of Prime Number Records, Springer-Verlag 1996, 3. Auflage

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letzte Änderung: 06.08.2000
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