Christian Goldbach - 1730


Der Beweis von Goldbach benutzt folgende Idee: Es reicht aus, eine unendliche Sequenz 1, a1, a2, a3, ... natürlicher Zahlen zu finden, die paarweise relativ prim sind, daß heißt, sie besitzen keinen gemeinsamen Primteiler. Daraus folgt, wenn p1 eine Primzahl ist, die a1 teilt und p2 ist eine Primzahl, die a2 teilt und ..., dann sind die p1, p2, ... alle verschieden.

In diesem Beweis werden für die an die Fermat`schen Zahlen benutzt, die folgendermaßen definiert sind:


Wie man mit Induktion über m leicht zeigen kann, gilt für diese Zahlen die folgende Beziehung Fm - 2 = F0 * F1 * ... * Fm-1. Daraus folgt für die Wahl von n < m, daß Fn die Zahl Fm - 2 teilt. Angenommen die Primzahl p würde sowohl Fn als auch Fm teilen, dann würde p auch Fm - 2 und Fm teilen, also auch die 2, und damit wäre p = 2. Wenn aber Fn ungerade ist, folgt keine Teilbarkeit mit der 2 und das zeigt, daß die Fermat`schen Zahlen paarweise relativ prim sind und die Aussage, daß es unendlich viele Primzahlen gibt, ist damit bewiesen.

Paulo Ribenboim, The New Book of Prime Number Records, Springer-Verlag 1996, 3. Auflage
Peter Bundschuh, Einführung in die Zahlentheorie, Springer-Verlag 1998, 4. Auflage

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letzte Änderung: 09.07.2000
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