Leonhard Euler


Der Beweis von Leonhard Euler, daß es unendlich viele Primzahlen gibt, ist genial und verblüffend einfach. Vorrausetzungen sind die Divergenz der harmonischen Reihe, die Konvergenz der geometrischen Reihe und die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl. Die Divergenz der harmonischen Reihe läßt sich am einfachsten mit dem Integralkriterium zeigen. Für die Konvergenz der geometrischen Reihe betrachtet man einfach die geschlossene Formel. Der Beweis des Haupt-/Fundamentalsatzes der Zahlentheorie/Arithmetik, also die Eindeutigkeit der Zerlegung einer natürlichen Zahl in ihre Primfaktoren ist in jedem vernünftigem Buch über die Zahlentheorie zu finden und auch recht einfach.
Doch nun zum Beweis: Wir nehmen an, die Menge der Primzahlen wäre endlich und zeigen mittels Widerspruch, daß dem nicht so ist.

Die endliche Menge der Primzahlen bezeichnen wir mit p1, p2, ..., pr. Dann muß sich entsprechend dem Hauptsatz der Zahlentheorie jede natürliche Zahl (auch die 1) in folgender Form darstellen lassen:


Im folgenden betrachten wir die Summe der Reziproken der Zahlen n. Gäbe es nur eine Primzahl, wäre also r = 1, so hätte die Reihe folgende Form:


Die rechte Seite der Gleichung ergibt sich aus der geometrischen Summenformel. Wäre r = 2, dann hätten wir die folgende Reihe:


Durch Ausrechnen des folgenden Produktes erkennt man die Gleichheit mit der Reihe für r = 2.


Die rechte Seite der Gleichung ergibt sich wiederum aus der geometrischen Summenformel. Bei dieser Überlegung und auch für alle weiteren Fälle r > 1 treten keine Konvergenzprobleme auf, da sämtliche Reihen konvergent sind. Für den allgemeinen Fall gilt also:


Aufgrund unserer Annahme sollen nun die Zahlen n gerade sämtliche natürlichen Zahlen darstellen. Dieser Überlegung folgt die Gleichung, in welcher wir die Reziproken der Zahlen betrachten:


Auf der linken Seite der Gleichung steht die harmonische Reihe, von der bekannt ist, daß sie divergiert. Rechts dagegen steht ein endlicher Wert, und damit haben wir den Widerspruch, der unsere Annahme widerlegt, daß es nur endlich viele Primzahlen gibt.

Gerhard Kowol, Primzahlen - Ein mathematischer Zugang zu ihren Qualitäten, Philosophisch-Antroposophischer Verlag am Goetheanum 1995

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letzte Änderung: 01.06.2000
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