Euklid - um 300 v.u.Z.


Bereits in Euklids Werk, dem zweifellos erfolgreichsten mathematischen Buch der Weltgeschichte, die Elemente, findet sich die bekannte Aussage, daß es im Bereich der natürlichen Zahlen unendlich viele Primzahlen gibt. Satz 20 im Buch IX lautet:

Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen.

Dieser Satz wird auch als Satz des Euklid bezeichnet, obwohl es nicht bekannt ist, von wem dieser Satz letztendlich stammt.

Der von Euklid niedergeschriebene Beweis ist sehr einfach,durchsichtig und, wie so oft in der Mathematik, ein Widerspruchsbeweis.

Sind p1, p2, ... , pr die vorgelegten Primzahlen, so bildet man die neue Zahl n = p1 * p2 * ... * pr + 1. Diese natürliche Zahl n besitzt bis auf die Reihenfolge eine eindeutige Zerlegung in ihre Primfaktoren. Ist q einer der Primteiler von n, so kann er nicht unter den vorgelegten Primzahlen vorkommen, da jede der vorgelegten Primzahlen p1, p2, ... , pr die Zahl n mit Rest 1 teilt und q als echter Teiler nicht. Somit ist q eine neue Primzahl und wegen diesem Widerspruch zur Annahme ist die Menge der Primzahlen unendlich.

Tatsächlich sind also alle Primfaktoren von n verschieden zu den vorgelegten Primzahlen, ohne daß eine Aussage zu den neuen Primzahlen getroffen wird. Bekannt ist nur, daß n selbst eine Primzahl sein könnte oder die neuen Primzahlen sind alle kleiner als n. Interessanterweise wird heute des öfteren beim Zitat von Euklids Beweis die Einschränkung getroffen, daß die vorgelegten Primzahlen die ersten Primzahlen sind, also 2, 3, 5, 7, ... , pr.

Gerhard Kowol, Primzahlen - Ein mathematischer Zugang zu ihren Qualitäten, Philosophisch-Antroposophischer Verlag am Goetheanum 1995
Martin Aigner, GŁnther M. Ziegler, Das BUCH der Beweise, Springer-Verlag 2002
Martin Aigner, GŁnther M. Ziegler, Proofs from THE BOOK, Springer-Verlag 1998
Paulo Ribenboim, The New Book of Prime Number Records, Springer-Verlag 1996, 3. Auflage

Beweise-Index

letzte Änderung: 01.06.2000
www.mathematic.de