Paul Erdös - 1938


Im folgenden Beweis wird mittels Widerspruch die Divergenz der Reihe der Reziproken der Primzahlen gezeigt. Der erste Beweis dieser Aussage wurde von Leonhard Euler gegeben, der Beweis von Paul Erdös ist genau so schön und klar.
Daß daraus unmittelbar folgt, daß es unendlich viele Primzahlen gibt, ist offensichtlich. Eine Reihe, die nicht konvergiert, hat auch unendlich viele Summanden. Vorausgesetzt natürlich, daß kein Summand dem Wert unendlich entspricht, aber das ist hier nach Definition der Reihe nicht der Fall.

Sei nun p1, p2, p3, ... die Folge der Primzahlen in aufsteigender Ordnung und angenommen die folgende Reihe konvergiert:

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Dann muß es eine natürliche Zahl k geben, so daß folgendes gilt:

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Weiterhin gilt dann für alle natürlichen Zahlen N:

.

Definitionen:
Kleine Primzahlen := Primzahlen der Menge {p1, ..., pk}
Große Primzahlen := Primzahlen der Menge pk+1, pk+2, ...
Nb := Anzahl der positiven ganzen Zahlen n N, die durch mindestens eine große Primzahl teilbar sind
Ns := Anzahl der positiven Zahlen n N, die nur kleine Primteiler besitzen


Nach der Definition von Nb und Ns gilt die Gleichung:

Nb + Ns = N

Zur Abschätzung von Nb läßt sich überlegen, daß die Vielfachen von pi zählt. Mit ( i ) ergibt sich also:

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Um Ns abzuschätzen werden die Zahlen n als Produkt der Form n = anbn2 betrachtet. In der Primfaktorzerlegung von n bezeichnet an also den quadratfreien Teil und besteht aus verschiedenen kleinen Primzahlen. Daher gibt es für den quadratfreien Teil 2k Möglichkeiten. Wegen bn gibt es höchstens verschiedene Quadratteile. Daraus folgt Ns 2k.

Da die echte Ungleichung ( ii ) für Nb für alle N gilt und die Gleichung Nb + Ns = N somit nur gelten kann, wenn Ns > N/2 gilt, reicht es aus eine Zahl N zu finden, für die 2k N/2 gilt, was gleichbedeutend mit 2k+1 ist. Die Zahl N = 22k+2 ist so eine Zahl.
Damit ist der gesuchte Widerspruch gefunden, so daß die Annahme der Konvergenz der untersuchten Reihe nicht mehr zu halten ist. Die Reihe ist also divergent und damit die Menge der Primzahlen unendlich.

Paul Erdös, Über die Reihe , Mathematica, Zuthpen B 7 (1938), 1-2
Martin Aigner, GŁnther M. Ziegler, Das BUCH der Beweise, Springer-Verlag 2002
Martin Aigner, GŁnther M. Ziegler, Proofs from THE BOOK, Springer-Verlag 1998

Beweise-Index

letzte Änderung: 31.10.2002
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