Paul Erdös - 1931


Zwischen n>1 und 2n befindet sich immer eine Primzahl.


Dieser Satz ist bekannt als Bertrand`s Postulat (1845) oder als Satz von Tschebyscheff (1852), da das Postulat zuerst von Tschebyscheff bewiesen wurde. Beweise hierfür gibt es noch mehrere, beispielsweise von Ramanujan (1919) oder von Moser (1949).
Angenommen man hätte endlich viele Primzahlen, dann würde die größte Primzahl als n in Bertrand`s Postulat eingesetzt sofort zeigen, daß es noch eine größere Primzahl gibt, und die Annahme einer endlichen Primzahlmenge ist nicht mehr zu halten.
Der folgende Beweis ist von Paul Erdös aus dem Jahre 1931 und benutzt die Teilbarkeitseigenschaften der Binomialkoeffizienten.

Im folgenden stehen lateinische Buchstaben für natürliche Zahlen, griechische Buchstaben für positive Zahlen und p bleibt den Primzahlen vorbehalten.

1. Der Binomialkoeffizient



ist durch die Primzahlen p mit a kleiner p kleiner/gleich 2a teilbar, da diese den Zähler teilen, den Nenner aber nicht, also folgt:

.


Für a größer/gleich 5 ist
.


Ist diese Ungleichung für ein festes a erfüllt, so gilt wegen:



diese Ungleichung auch für a+1 und daraus folgt:

.


2. Sei b größer/gleich 10 und die kleinste ganze Zahl größer/gleich x wird mit {x} bezeichnet. Dann sei die Definition der Zahlenfolge A:

.


Die Glieder dieser Folge sind monoton fallend und es gilt weiterhin:



und da ak und 2ak+1 ganze Zahlen sind, gilt:

.


wird fortgesetzt


Paul Erdös, Beweis eines Satzes von Tschebyscheff, Acta Sci. Math. Szeged, 5, 1930, 194-198

Beweise-Index

letzte Änderung: 03.08.2000
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