Richard Bellman - 1947


Der folgende Beweis zeigt eine allgemeine Vorschrift zur Generierung von Polynomen, mit welchen man unendliche Zahlenfolgen mit paarweisen relativ primen Zahlen erzeugen kann. Der Gedanke bezüglich der Unendlichkeit der Primzahlmenge ist also dem Beweis von Goldbach mit den Fermat Zahlen äquivalent und enthält diesen auch als Spezialfall.

Satz 1: Keine zwei Zahlen der Form 22n + 1 mit n = 1, 2, ... haben einen gemeinsamen Teiler größer als 1.

Die Zahlen 22n + 1 mit n = 1, 2, ... sind bekannt als Fermat Zahlen, die mit dem quadratischen Polynom f(x) = (x - 1)2 + 1 iterativ generiert werden können, wenn x = 3 gewählt wird. Dies folgt mittels Induktion, sei f1(x) = f(x) der Induktionsanfang und fn+1 = f(fn(x)) der Induktionsschritt. Aus fn(x) = 22n + 1 folgt dann fn+1(x) = 22n+1 + 1. Diese Erkenntnis führt dann direkt zum Satz 2, welcher den Satz 1 als Spezialfall enthält.

Satz 2: Sei f(x) ein Polynom mit ganzahligen Koeffizienten mit folgenden Eigenschaften:

1. fn(0) = f(0), n > 0, f(0) ungleich 0,

2. ggT[x, f(0)] = 1 => ggT[f(x), f(0)] = 1.

Dann haben für den Fall, daß x eine ganze Zahl ist und ggT[x, f(0)] = 1, keine zwei Zahlen der Folge x, f1(x), f2(x), f3(x), ... einen gemeinsamen Teiler größer als 1, das heißt, diese Zahlen sind paarweise relativ prim.

Beweis: Angenommen Satz 2 ist falsch, so daß für einige m > 1, n > m gilt ggT[fn(x), fm(x)] > 1. Für ggT[fn(x), fm(x)] > 1 und ggT[fn(x), f(0)] > 1 folgt fn(x) = fn-m(fm(x)) ist kongruent zu fn-m(0) mod fm(x) ist kongruent zu f(0) mod fm(x). Aus ggT[x, f(0)] = 1 folgt ggT[f(x), f(0)] = 1 und daher ggT[fn(x), f(0)] = 1 und dieser Widerspruch zur Annahme zeigt den Satz 2.

Ein weiteres Beispiel für ein zulässiges Polynom ist (x - 2)4 - 12, wenn x > 6 und ggT[x, 4] = 1 gewählt wird.

Richard Bellman, A Note On Relatively Prime Sequences, Bull. Amer. Math. Soc., 53, 1947, 778-779

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letzte Änderung: 29.10.2000
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